Sabtu, 03 Agustus 2013

Soal dan Pembahasan Olimpiade Matematika Vektor Nasional (OMVN) 2012 Tingkat SMP Nomor 8 (Babak Penyisihan)



Soal:
Delapan bilangan asli memiliki rata-rata 6,5. Empat dari delapan bilangan tersebut adalah 4, 5, 7, dan 8. Selisih antara bilangan terbesar dan terkecil adalah 10. Jika kedelapan bilangan diurutkan dari kecil ke besar, maka banyaknya susunan ada ….

Pembahasan:
Diketahui rata-rata delapan bilangan asli = 6,5; sehingga jumlah ke-8 bilangan tersebut = 52.
Dan jumlah 4 bilangan yang diketahui adalah 4 + 5 + 7 + 8 = 24

Misalkan ke-4 bilangan yang belum diketahui: a, b, c, d; sehingga, a + b + c + d = 28
Sehingga diperoleh:
a + b + c + d + 4 + 5 + 7 + 8 = 52          ==> a + b + c + d + 24 = 52
                                                                ==> a + b + c + d  = 28   ..........1)
Kemudian diketahui bahwa selisih antara bilangan terbesar dan terkecil adalah 10, maka ada 4 kemungkinan selisih bilangan terbesar dan terkecil, yaitu:
I: 8 – a = 10,                               persamaan ini tidak memenuhi
II: 8 – 4 ≠ 10,                              persamaan ini tidak memenuhi  
III: d – 4 = 10,
     d = 14   ..........2)                    
IV: da = 10,                           
     d = a + 10   ..........3)

Dari persamaan 1) dan 2) diperoleh
a + b + c + d  = 28           ==> a + b + c + 14  = 28
                                        ==> a + b + c = 14  
Selanjutnya mencari banyaknya kemungkinan nilai a, b dan c dengan syarat a, b, atau c ≥ 4
Untuk a = 4           ==> 4 + b + c = 14,   
                               ==> b + c = 10,           nilai b dan c yang memenuhi adalah 5
                               ==> 5 + 5 = 10,          ada 1 susunan (yaitu 4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 14)*
Untuk a = 5           ==> 5 + b + c = 14,   
                               ==> b + c = 9,                 
                               ==> 5 + 5 ≠ 9,            persamaan ini tidak memenuhi

Dari persamaan 1) dan 3) diperoleh
a + b + c + d  = 28           ==> a + b + c + a + 10  = 28
                                        ==> 2a + b + c = 18  
                                        ==>  b + c = 18 2a  
Karena tidak dijelaskan bahwa ke-8 bilangan tersebut semuanya harus berbeda, maka ada 4 kemungkinan  untuk bilangan terkecilnya, yaitu 1, 2, 3, dan 4
Untuk a = 1           ==> b + c = 18 2(1),      sehingga nilai d = 1 + 10 = 11
                               ==> b + c = 16
Selanjutnya mencari banyaknya kemungkinan b dan c dengan syarat b ≥ 1 dan c ≤ 11

a + b + c + d  = 28
a = 1
b
c
Banyaknya susunan

5
11
ada 4

6
10

7
9

8
8

Untuk a = 2           ==> b + c = 18 2(2),      sehingga nilai d = 2 + 10 = 12
                               ==> b + c = 14
Selanjutnya mencari banyaknya kemungkinan b dan c dengan syarat b ≥ 2 dan c ≤ 12

a + b + c + d  = 28
a = 2
b
c
Banyaknya susunan

2
12
ada 6

3
11

4
10

5
9

6
8

7
7
Untuk a = 3           ==> b + c = 18 2(3),      sehingga nilai d = 3 + 10 = 13
                               ==> b + c = 12
Selanjutnya mencari banyaknya kemungkinan b dan c dengan syarat b ≥ 3 dan c ≤ 13

a + b + c + d  = 28
a = 3
b
c
Banyaknya susunan

3
9
ada 4

4
8

5
7

6
6

Untuk a = 4           ==> b + c = 18 2(4),      sehingga nilai d = 4 + 10 = 14
                               ==> b + c = 10
Selanjutnya mencari banyaknya kemungkinan b dan c dengan syarat b ≥ 4 dan c ≤ 14

a + b + c + d  = 28
a = 4
b
c
Banyaknya susunan

4
6
ada 2

5
5
Khusus untuk a = 4 ini susunannya ada yang sama dengan kasus di atas yaitu pada susunan: 
(4, 4, 5, 5, 5, 7, 8, 14)*, sehingga banyaknya susunan menjadi (2 – 1) = 1

Dengan demikian, banyaknya susunan = 0 + 0 + 1 + 0 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16

Jadi, banyak susunan jika ke-8 bilangan diurutkan dari kecil ke besar adalah ada 16


-----------------------------------------------------------------
Pelajari Juga: [Nomor 1][Nomor 2], [Nomor 3][Nomor 4], [Nomor 5][Nomor 6],  
[Nomor 7], [Nomor 9], [Nomor 10], dan [Nomor 11 - 20] 

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar